Eleição, corrupção, matemática

Estadão

12 Fevereiro 2010 | 09h02

Matemática e política têm muitos pontos de contato, para além das estatísticas nas pesquisas de opinião pública. No século XVIII, matemáticos como Borda e Condorcet propuseram sistemas eleitorais que lhes pareciam mais justos que o básico um-voto-por-eleitor, e que têm defensores até hoje (mais sobre isso nos próximos meses).

Mas, aproveitando a onda da repulsa dos grandes partidos brasileiros ao controle de doações para campanhas eleitorais e, claro, a notícia da recente prisão do governador do Distrito Federal, José Roberto Arruda, vou tratar aqui de uma ferramenta matemática muito útil no combate ao desvio de recursos, caixa dois e fraude financeira em geral: a Lei de Benford.

Trata-se de uma ferramenta poderosa: violações dessa lei são aceitas como evidência de desfalque e corrupção na Justiça dos EUA, e ela já já foi adotada em investigações realizadas aqui mesmo no Brasil. A Lei de Benford também foi invocada para dar suporte à acusação de que houve de fato fraude eleitoral no Irã em 2009.

Descoberta, na verdade, pelo astrônomo Michael Newcomb em 1881, a lei acabou ficando mais conhecida com o nome do homem responsável por popularizá-la, Frank Benford, que escreveu um artigo a respeito em 1938. Ela permite discriminar se uma lista de números realmente reflete informações reais ou foi inventada — por exemplo, se uma contagem de votos é mesmo o resultado de muitas pessoas indo livremente às urnas, ou se as apurações foram cozinhadas pela canetada de um zeloso fiscal partidário.

Como? Bom, de acordo com a lei, os números de uma lista contendo dados reais devem ter 1 como primeiro dígito em cerca de 30% das vezes; 2, em cerca de 18%; e a frequência dos dígitos vai caindo até chegar a 9, com menos de 5%.

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As frequências relativas de primeiros dígitos, segundo a Lei de Benford

A lei se aplica a uma quantia enorme de listas, indo desde o comprimento dos rios do mundo à altura dos edifícios e ao tamanho das populações. Por exemplo, de mais de 220 paises e territórios com população estimada pela ONU, cerca de 60 têm número de habitantes começando com o dígito 1 — da China, com 1,3 bilhão, a Tokelau, na Nova Zelândia, com 1.500. Isso dá uma proporção de 27%. Já os países cujas populações começam com o dígito 9 são sete, ou 3%.

Uma pessoa desonesta tentando inventar números que pareçam naturais dificilmente consegue emular a lei: a tendência é ou distribuir os dígitos ao acaso (o que gera uma frequência uniforme de cerca de 11,1% para todos, de 1 a 9) ou exagerar no uso do 9, para evitar mecanismos de detecção de fraude que só são ativados quanto um determinado valor redondo é atingido: assim, em vez de se roubar R$ 2 milhões, roubam-se duas parcelas de R$ 999.999,99.

A razão pela qual a Lei de Benford funciona é meio complexa, envolvendo os logaritmos dos números analisados, mas ela se encaixa bem em fenômenos onde, por exemplo, o tamanho e a frequência são inversamente proporcionais — isto é, onde existe uma maioria de casos de pequena monta e muito poucas ocorrências grandes e notáveis. É o que se dá com a magnitude dos terremotos e, supõe-se, das despesas públicas e das doações de campanha.

A lei tem limitações: uma delas é que não funciona nas chamadas distribuições normais, onde o maior número de casos acumula-se junto a um valor médio. A altura de uma população, por exemplo, segue distribuição normal: a maioria das pessoas tem uma estatura próxima à média, com uns poucos altões e poucos baixinhos.

A Lei de Benford também se aplica a listas formadas por diversos números retirados ao acaso de várias fontes e distribuições diferentes. É muito provável, por exemplo, que uma tabela com todos os números que aparecem na edição de hoje do Estadão siga-a bem de perto!