Por coincidência, nesta semana foi anunciado -- na edição de 3 de maio da Physical Review Letters -- um resultado interessante no problema do empacotamento de tetraedros regulares (não se asssuste, continue lendo: o assunto é tão fascinante e fundamental que até o New York Times fez reportagem a respeito!)
"Tetraedro" é uma pirâmide de base triangular; num tetraedro regular, todos os lados são iguais.Se você já jogou RPG alguma vez na vida (se está neste blog, suponho que seja provável que sim) trata-se do bom e velho D4.
Já "empacotamento" é, em termos abstratos, o estudo dos meios de se preencher um determinado espaço com certas formas geométricas predefinidas ou, inversamente, de encontrar as melhores formas para preencher, cumprindo alguns critérios, um espaço disponível.
Se o espaço tem duas dimensões, a questão toda se reduz ao velho problema de calcular quanto de ladrilho vai numa parede, ou quanto de piso, no chão -- algo que encontramos pela primeira vez na segunda série primária (ou seja lá como isso se chama agora) e que reecontramos, anos depois, quando o encanamentodo andar de cima estoura e inunda a nossa sala.
A questão do empacotamento em três dimensões -- essencialmente, como encher uma caixa -- tem um longo e honrado pedigree. Ninguém menos que Aristóteles dizia que tetraedros deveriam preencher o espaço de um modo tão eficiente quanto cubos -- isto é, ocupar todo o volume disponível, sem folga. Ele estava errado, mas passaram-se séculos antes que alguém conseguisse provar isso.
Já Johannes Kepler (de quem você deve ter ouvido falar na escola também, mas um pouco além da primeira série) chegou a conjeturar sobre qual o modo mais eficiente de guardar esferas. Ou: qual a melhor forma de encher caixas com laranjas sem desperdiçar espaço? A solução dele -- de que a técnica usada por quitandeiros desde tempos imemoriais era a melhor -- estava certa, mas passaram-se séculos antes que alguém provasse isso!
Mais recentemente, o grande mestre da matemática recreativa Martin Gardner escreveu crônicas muito interessantes a respeito.
Mas, voltando aos tetraedros: o resultado experimental divulgado na Physical Review Letters, obtido ao se encher recipientes de dados de quatro faces, sacudi-los até que se ajustassem, jogar água neles e medir quanto de líquido foi usado -- o que corresponde ao volume não preenchido pelos dados -- revelou que os tetraedros são capazes de ocupar 74% do espaço. Modelos teóricos preveem que deve ser possível chegar a 85%.
A coisa toda vai muito além, é claro, de um bando de malucos com PhD brincando com baldes de água e dadinhos de AD&D.
A fantástica capacidade da matemática de extrair princípios abstratos de situações concretas e, em seguida, de aplicar as abstrações obtidas a novas situações faz com que o estudo dos "empacotamentos" tenha relevância para campos que vão da biologia evolutiva (por que as células têm o formato que têm?) à segurança de edificações (se as partículas do solo têm essa ou aquela forma e configuração, qual o risco de um deslizamento?) e a novas e mais altas abstrações (quais os empacotamentos possíveis em quatro, cinco, seis dimensões?).
Enfim, feliz Dia da Matemática. E cuidado com o encanamento velho.
