Feliz Dia da Matemática!

Estadão

06 Maio 2010 | 08h24

Hoje, 6 de maio, é o Dia Nacional da Matemática. Eu também não sabia disso — fui informado graças à mensagem deixada pela professora Deborah, do IME-USP, numa postagem anterior. Mas como um grande fã da “linguagem da natureza”, não podia deixa passar a data em branco.

Por coincidência, nesta semana foi anunciado — na edição de 3 de maio da Physical Review Letters — um resultado interessante no problema do empacotamento de tetraedros regulares (não se asssuste, continue lendo: o assunto é tão fascinante e fundamental que até o New York Times fez reportagem a respeito!)

“Tetraedro” é uma pirâmide de base triangular; num tetraedro regular, todos os lados são iguais.  Se você já jogou RPG alguma vez na vida (se está neste blog, suponho que seja provável que sim) trata-se do bom e velho D4.

Tetraedros regulares, os populares dados de 4 faces

Tetraedros regulares, os populares dados de 4 faces

Já “empacotamento” é, em termos abstratos, o estudo dos meios de se preencher um determinado espaço com certas formas geométricas predefinidas ou, inversamente, de encontrar as melhores formas para preencher, cumprindo alguns critérios, um espaço disponível.

Se o espaço tem duas dimensões, a questão toda se reduz ao velho problema de calcular quanto de ladrilho vai numa parede, ou quanto de piso, no chão — algo que encontramos pela primeira vez na segunda série primária (ou seja lá como isso se chama agora) e que reecontramos, anos depois, quando o encanamento  do andar de cima estoura e inunda a nossa sala.

A questão do empacotamento em três dimensões — essencialmente, como encher uma caixa — tem um longo e honrado pedigree. Ninguém menos que Aristóteles dizia que tetraedros deveriam preencher o espaço de um modo tão eficiente quanto cubos — isto é, ocupar todo o volume disponível, sem folga. Ele estava errado, mas passaram-se séculos antes que alguém conseguisse provar isso.

Johannes Kepler (de quem você deve ter ouvido falar na escola também, mas um pouco além da primeira série) chegou a conjeturar sobre qual o modo mais eficiente de guardar esferas. Ou: qual a melhor forma de encher caixas com laranjas sem desperdiçar espaço? A solução dele — de que a técnica usada por quitandeiros desde tempos imemoriais era a melhor — estava certa, mas passaram-se séculos antes que alguém provasse isso!

Mais recentemente, o grande mestre da matemática recreativa Martin Gardner escreveu crônicas muito interessantes a respeito.

Mas, voltando aos tetraedros: o resultado experimental divulgado na Physical Review Letters, obtido ao se encher recipientes de dados de quatro faces, sacudi-los até que se ajustassem, jogar água neles e medir quanto de líquido foi usado — o que corresponde ao volume não preenchido pelos dados — revelou que os tetraedros são capazes de ocupar 74% do espaço. Modelos teóricos preveem que deve ser possível chegar a 85%.

A coisa toda vai muito além, é claro, de um bando de malucos com PhD brincando com baldes de água e dadinhos de AD&D.

A fantástica capacidade da matemática de extrair princípios abstratos de situações concretas e, em seguida, de aplicar as abstrações obtidas a novas situações faz com que o estudo dos “empacotamentos” tenha relevância para campos que vão da biologia evolutiva (por que as células têm o formato que têm?) à segurança de edificações (se as partículas do solo têm essa ou aquela forma e configuração, qual o risco de um deslizamento?) e a novas e mais altas abstrações (quais os empacotamentos possíveis em quatro, cinco, seis dimensões?).

Enfim, feliz Dia da Matemática. E cuidado com o encanamento velho.